Sab, 03/28/2020 - 09:05 By admin
non_euclidee

Nell'ultimo post sull'origine della conoscenza, abbiamo accennato al fatto che, per i matematici, la loro disciplina (sia la matematica che la geometria) è completamente convenzionale, in quanto poggia su assiomi che per definizione non sono dimostrati, e dunque sono aleatori. Questa dichiarazione non dovrebbe sorprendere chiunque abbia frequentato un liceo, perché tali materie vengono insegnate agli studenti proprio in questi termini, tuttavia potrebbe aver giustamente destabilizzato qualche lettore, dunque è certamente il caso di approfondirla.

Cominciamo col ribadire che non stiamo esagerando o romanzando una questione minore. Il matematico Henri Poincaré, ad esempio, scriveva a chiare lettere che non ha alcun senso domandarsi se i principi della matematica siano veri o falsi:

Sarebbe come domandarsi se il sistema metrico è vero e le antiche misure false; se le coordinate cartesiane sono vere e le coordinate polari false. Una geometria non può essere più vera dell'altra; solamente può essere più comoda [1]

Come è possibile che si sia arrivati a queste affermazioni? Diamo anzitutto uno sguardo storico al problema, poiché in effetti i matematici non l'hanno sempre pensata così. Partiamo anzitutto da Aristotele, che come è noto non solo propose una metodologia logica della scienza, ma sviluppò concretamente un sistema completo di scienze, raccogliendo e integrando tutto il sapere disponibile ai suoi tempi, costruendo di fatto una mirabile (per quanto, ovviamente, incompleta) enciclopedia del sapere scientifico e filosofico del suo tempo: dalla fisica all'astronomia, dalla meteorologia alla biologia, dalla psicologia alla logica, dalla morale alla metafisica. La lacuna principale nel suo sistema è senza dubbio costituita dalla matematica che tuttavia, proprio grazie alla rigorosa metodologia aristotelica, fu sviluppata pochi anni dopo la sua morte da Euclide, che compilò i suoi famosi "Elementi" attorno al 300 a. C [2], nell'ambiente delle scuole ateniesi di Platone e Aristotele. La sistemazione teorica operata da Euclide in quest'opera è così importante che, pur con tutti i suoi limiti, fino a qualche decennio fa la struttura della maggior parte dei libri di testo di geometria delle scuole superiori ricalcava ancora sostanzialmente quella degli "Elementi" [3].

Come possiamo inserire, nel grande quadro del sapere, questa disciplina così mirabilmente sviluppata da Euclide? Ancora una volta, ci torna in aiuto Aristotele, che aveva formulato la sua dottrina dei tre gradi di astrazione [4]. Aristotele aveva infatti compreso che tutte le discipline utilizzano concetti che sono frutti dell'astrazione dell'intelletto, cioè eliminando dalle impressioni sensitive determinate accidentalità. Nessun concetto è frutto di intuizione (come invece pensava Platone). Ma l'astrazione può essere operata a vari livelli, più o meno in profondità, e proprio per questo esistono diverse discipline. Per Aristotele, questi gradi di astrazione erano tre:

  1. Si possono eliminare tutte le accidentalità della materia individuale, ma non la materia e il movimento, come avviene nella scienza fisica (che infatti studia enti materiali e mobili)
  2. Si possono eliminare tutte le accidentalità della materia individuale e del movimento (colore, calore, sapore ecc.), ma non la quantità e l'estensione, come avviene nelle scienze matematiche e geometriche (che infatti studiano enti estesi e numerabili)
  3. Si possono eliminare tutte le accidentalità che non appartengono all'ente in quanto ente (cioè tutte le accidentalità), tranne la sostanza, l'essere in sé, l'essenza, come avviene nella metafisica (che infatti studia tutti gli enti) [5]

La matematica e la geometria, dunque, astraggono di più rispetto alla fisica o la biologia, ma di meno rispetto alla metafisica. La legittimità del secondo grado di astrazione, quello della matematica, è fondata sulla struttura stessa della realtà materiale. Infatti, la quantità o estensione è la condizione di esistenza prerequisita dalle altre proprietà sensibili, in quanto un corpo non può essere colorato, caldo o duro, se non è esteso. Le diverse qualità sensibili studiate da fisica e biologia, quindi, presuppongono l'estensione, come il colore presuppone una superficie. La matematica non potrebbe esistere se non ci fosse questo primato ontologico della quantità rispetto alle qualità sensibili (nella terminologia di Locke, si distinguono qualità primarie, come appunto la quantità e le proprietà che ne derivano direttamente come estensione, numero, posizione e moto, e qualità secondarie, cioè i vari sensibili propri [6]). La quantità, dunque, è una caratteristica fondamentale delle cose, al punto tale da entrare nella definizione stessa di sostanza materiale o corpo, che infatti si definisce come l'ente che per sua stessa natura esige la quantità [7]:

Corpus enim, secundum quod este in genere substantiae, dicitur ex eo quod habet talem natura [8]

Ciò che stiamo dicendo è evidentemente molto lontano da quanto diceva Poincarè. Stiamo infatti dicendo che l'origine della matematica non è una convenzione, ma è di natura empirica, sia per la geometria intesa come misura della terra (geo-metria), sia per l'aritmetica intesa come calcolo effettuato mediante sassolini ("calculi"). E' pur vero, tuttavia, che da questa origine empirica la matematica si distanzia ben presto, poiché l'aspetto razionale nella scienza matematica (nei suoi giudizi e nelle sue dimostrazioni) è ampiamente prevalente sull'aspetto empirico (che è solo il punto di partenza). Sarebbe dunque errata un'interpretazione della matematica completamente empiricista, ma sarebbe anche sbagliata un'interpretazione della matematica completamente razionalista [9].

In cosa consiste, nel dettaglio, questo punto di partenza empirico della matematica? Euclide l'aveva messo perfettamente in chiaro nei suoi Elementi. Ognuno dei tredici libri di quest'opera inizia con i termini, che corrispondono (in parte) a ciò che noi oggi chiamiamo definizioni. Perché "in parte"? Perché nelle definizioni il definiens (cioè la locuzione con cui viene individuato il significato del definiendum) può contenere soltanto termini definiti in precedenza. Ma così facendo, si innescherebbe un regresso all'infinito delle definizioni [10] (simile a quello che abbiamo visto nel post sull'origine della conoscenza). Per evitare questo, e per evitare un approccio convenzionalista come quello che abbiamo visto in Poincarè, Euclide iniziava la sua opera con i termini, che però non sono definizioni di nuovi concetti, ma riconoscimenti di enti già esistenti, a cui Euclide si limita a dare un nome: il punto, la retta, il piano ecc. La differenza potrà sembrarvi sottile, ma è molto importante, poiché per l'appunto Euclide non iniziava con delle definizioni arbitrarie, ma col riconoscimento di caratteristiche che già esistono nella realtà, sebbene astratte da essa, secondo il procedimento indicato da Aristotele.

Dopo aver enunciato i termini, Euclide proseguiva enunciando assiomi e postulati (i postulati riguardavano concetti strettamente geometrici mentre gli assiomi erano enunciati più generali, comunque oggi si tende a considerare come sinonimi questi termini [10]), la cui verità è considerata evidente. Nuovamente notiamo, quindi, che Euclide non partiva da convenzioni arbitrarie, ma da verità che considerava evidenti. E' vero che, una volta superata questa fase di iniziale ricorso esplicito e controllato all'evidenza, tutta la disciplina veniva poi sviluppata senza più far ricorso all'evidenza, sempre tramite la sola logica e il ricorso ai termini, agli assiomi e ai teoremi già dimostrati in precedenza. Ma questo ricorso all'evidenza di partenza c'era, ed è fondamentale. Peraltro, i matematici hanno poi tentato non solo di dimostrare teoremi successivi, ma anche di ridurre sempre di più il ricorso iniziale ad assiomi auto-evidenti, per lo meno rendendo questo ricorso sempre più esplicito e limitato.

All'inizio del primo libro, Euclide enunciava cinque postulati (oggi i matematici sanno che in realtà ne vengono utilizzati anche altri, sottintesi, ma ciò non cambia il sostanziale rigore della costruzione teorica di Euclide):

  1. Che si possa condurre una linea retta da qualsiasi punto a ogni altro punto
  2. Che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta
  3. Che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni raggio
  4. Che tutti gli angoli retti sono eguali tra loro
  5. Che, se una retta venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni e dalla stessa parte la cui somma sia minore di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli la cui somma è minore di due retti

Già dalla lettura di questi cinque celebri postulati risulta piuttosto evidente la differenza del quinto rispetto ai primi quattro, che appare immediatamente più contorto e molto meno intuitivo degli altri. Oggi il quinto postulato (detto anche postulato delle parallele) viene formulato in una forma molto diversa (ma che si può dimostrare essere equivalente): per un punto esterno a una data retta, passa una sola parallela ad essa. Ebbene, è proprio da questo postulato che, nella storia della matematica, è iniziato un gigantesco terremoto. Proprio quel terremoto che porterà, alla fine, ad affermazioni sconvolgenti come quelle di Poicarè, da cui siamo partiti. Come è stato possibile, e perché proprio il quinto postulato?

Se prendiamo in mano una riga e un compasso possiamo immediatamente ammettere senza difficoltà:

  1. che si possano unire con un segmento due punti qualsiasi (postulato 1)
  2. che si possa prolungare un segmento (postulato 2)
  3. che si possano tracciare circonferenze con raggio e centro prefissati (postulato 3)
  4. il quarto postulato non è neppure necessario: si potrebbe infatti dimostrarlo tranquillamente a partire dai primi tre

Il quinto postulato, invece, non è così evidente. Inoltre, mentre i primi quattro restano validi se limitiamo la nostra attenzione a una porzione finita di piano (come fa chi, disegnando, considera solo un foglio), così non è per il quinto postulato. Dunque potrebbe non essere così evidente che su un piano illimitato esso sia valido. Allo stesso tempo, tuttavia, non possiamo rinunciare a tale postulato, poiché da esso dipendono numerosi teoremi di grande importanza come:

  • il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo (uguale a un angolo piatto)
  • i teoremi sui parallelogrammi
  • la teoria dell'equivalenza delle superfici piane
  • il teorema di Pitagora
  • la teoria della similitudine delle figure piano
  • la trigonometria piana
  • la geometria analitica

Per questi motivi, per oltre duemila anni si sono succeduti tentativi di eliminare il ricorso al postulato delle parallele. Questi tentativi possono essere classificati in tre categorie:

  1. alcuni matematici propongono di sostituire al quinto postulato altri postulati che abbiano maggiore evidenza intuitiva. Tali tentativi però non sono molto interessanti, in quanto essi richiedono pur sempre un apposito postulato per il parallelismo. Inoltre l'evidenza intuitiva degli enunciati proposti è sempre molto discutibile. Perciò la maggior parte dei matematici preferisce mantenere l'originario postulato di Euclide
  2. si riformula la definizione di parallelismo in modo da rendere superfluo il postulato delle parallele
  3. si cerca di dimostrare il postulato delle parallele

Tuttavia nessuno di tali tentativi (dal greco Posidono a Proclo, dall'arabo Nasir-Eddin all'inglese Wallis) ha resistito alle critiche successive. Tra questi, c'è un tentativo che è rimasto nella storia, ovvero quello del gesuita Gerolamo Saccheri che, pur fallendo, di fatto inconsapevolmente aprì la strada a tutta la rivoluzione di cui stiamo parlando. Saccheri tentò infatti una dimostrazione per assurdo, ovvero negò la tesi che avrebbe dovuto dimostrare, traendone delle conseguenze contraddittorie, per concluderne quindi che la tesi iniziale era corretta. Analizziamo brevemente lo schema del suo tentativo di dimostrazione.

Saccheri partì non dalla negazione del postulato delle parallele, ma da una proposizione ad esso equivalente. Considerò una figura geometrica chiamata quadrilatero birettangolo: preso un qualunque segmento AB, si traccino i segmenti AD e BC, a esso perpendicolari e tra loro congruenti. Si congiungano quindi C e D. Ebbene, crettangolohe cosa si può dire degli angoli C e D? E' facile dimostrare, con ovvie considerazioni di simmetria, che essi sono congruenti. Pertanto, in linea di principio, si possono ammettere tre possibilità:

  1. Ipotesi dell'angolo acuto: C e D sono acuti
  2. Ipotesi dell'angolo retto: C e D sono retti
  3. Ipotesi dell'angolo ottuso: C e D sono ottusi

Come risulta ovvio anche dall'immagine qui di fianco, nell'ordinaria geometria la risposta giusta è quella dell'angolo retto. Ma poiché i matematici esigono delle dimostrazioni, bisogna ammettere che senza postulato delle parallele non si può giungere a tale conclusione. Viceversa, se si ammette l'ipotesi dell'angolo retto, non è molto difficile dimostrare il postulato delle parallele. Quindi l'ipotesi dell'angolo retto è equivalente al postulato delle parallele. Saccheri dunque, volendo dimostrare per assurdo tale postulato, negò l'ipotesi dell'angolo retto. Restarono dunque in piedi le altre due ipotesi, di cui Saccheri tentò di dimostrare la contraddittorietà, non riuscendovi davvero.

Da quel momento, però, vari matematici iniziarono ad affacciarsi all'idea che, se in fondo il postulato delle parallele non si può dimostrare (cioè non si può mostrare la sua contraddittorietà rispetto ai primi quattro postulati), forse si sarebbe potuta costruire una geometria indipendente dal quinto postulato di Euclide, con risultati certamente molto diversi rispetto a quelli delle nostre intuizioni, ma non in contraddizione con i primi quattro postulati.

Partendo dunque dall'ipotesi dell'angolo acuto, verso il 1826 indipendentemente fra loro, l'ungherese Jànos Bolyai e il russo Nikolaj Lobacevskij svilupparono la geometria iperbolica, mentre nel 1855 il tedesco Bernhard Riemann sviluppò la geometria ellittica partendo dall'ipotesi opposta dell'angolo ottuso. Da quel momento, i matematici hanno formulato teorie sempre più astratte, negando ora l'uno ora l'altro dei postulati tradizionali.

geometrie_non_euclidee
A seconda di come si rimpiazza il V postulato di Euclide, si ottengono diverse geometrie: mantenendolo invariato si ha la geometria euclidea [1], se si postula che due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune, si ottiene la geometria ellittica [2], mentre se si presuppone che, data una retta e un punto disgiunto dalla stessa, esistono almeno due rette distinte passanti per il punto e parallele alla retta, si ottiene la geometria iperbolica [3].

Queste soluzioni ruppero la storia dello sviluppo organico e logicamente coerente della matematica, che era proseguito da Euclide fino agli inizi del secolo diciannovesimo. Da quel momento, però, ciò che era stato considerato fino ad allora una verità certa ed evidente, non lo fu più. Iniziò dunque a farsi strada, nei matematici ed epistemologi, l'idea che abbiamo enunciato all'inizio tramite le parole di Poincarè, e cioè che i principi della matematica non sono proposizioni vere e necessarie, ma solo ipotesi convenzionali, legate dalla sola condizione di essere logicamente coerenti. Questo concetto, unito ad altri problemi nati sulle ricerche riguardo all'infinito, diede origine a quello che si suole chiamare il problema dei fondamenti della matematica. Per affrontarlo, vennero tentate sostanzialmente tre strade:

  1. Indirizzo logicista. Iniziato da Frege e sviluppato soprattutto da Russell e Whitehead, tentò i ridurre i concetti base della matematica a concetti puramente logici
  2. Indirizzo intuizionista. Anticipato da Poincarè e sviluppato formalmente da Brouwer, Weyl e Heyting, tentò di porre alla base della matematica un'intuizione pura delle capacità dello spirito
  3. Indirizzo assiomatico formalista. Formulato da Hilbert, affermava che una teoria si basa su un insieme di assiomi che, a differenza di quelli di Euclide e di Aristotele, non hanno la pretesa di essere veri, ma solo convenzionali, anche se espressi in linguaggio simbolico formalizzato.

Tutte e tre le strade, di fatto, fallirono, sebbene questo terzo indirizzo fu quello che effettivamente ebbe più successo (e infatti, come abbiamo visto, ancora oggi nelle scuole viene proposto), anche se si scontrò successivamente coi radicali risultati di Gödel e Church (di cui parleremo altrove), che negarono la completezza e la coerenza del sistema assiomatico.

Giunti a questo stadio del nostro racconto, è evidente che non abbiamo ancora neanche abbozzato la soluzione, e che riprenderemo il problema per le corna in un prossimo post. D'altronde, è evidente che l'approccio assiomatico ha un problema immenso: se la matematica fosse semplicemente un sistema coerente con se stesso ma completamente aleatorio, non dovremmo continuamente ritrovare i suoi costrutti nella fisica e, più in generale, nel comportamento del mondo reale. Siccome, invece, questo avviene costantemente, è evidente che non può trattarsi di un caso fortunato. Forse, allora, Aristotele aveva ragione a dire che i primi termini della matematica sono ottenuti per immediata astrazione dei dati dell'esperienza, mentre i primi assiomi sono verità per sé note all'intelletto [12]. Di questo parleremo in futuro, quando vedremo come la matematica in fondo studi l'essere nel suo aspetto quantitativo di uno-molteplice [13].

 

 

[1] Henri Poincarè, La science et l'hypothèse, Parigi 1902, pp. 66-67

[2] Filippo Selvaggi, Filosofia del mondo, PUG, Roma 2008, pp. 57-58

[3] N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi, Nuovi elementi di matematica C, Ghisetti e Corvi editori, p. 357

[4] Aristotele, Metafisica XI, 1061a, 28 - 1061b, 27

[5] Battista Mondin, Storia della metafisica vol. 1, pp. 294-295

[6] Filippo Selvaggi, Filosofia del mondo, PUG, Roma 2008, pp. 125-126

[7] Alcuni filosofi, come Cartesio, giungeranno addirittura ad identificare la quantità o estensione con l'essenza stessa della sostanza materiale

[8] Tommaso d'Aquino, De ente et essentia, c. 3

[9] Filippo Selvaggi, Filosofia del mondo, PUG, Roma 2008, p. 127

[10] N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi, Nuovi elementi di matematica C, Ghisetti e Corvi editori, p. 359

[11] N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi, Nuovi elementi di matematica C, Ghisetti e Corvi editori, p. 357

[12] Filippo Selvaggi, Filosofia del mondo, PUG, Roma 2008, p. 141

[13] Sofia Vanni Rovighi, Elementi di filosofia vol. 1, 2013, La scuola, p.37

Argomento